RELASI

Contoh . Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka
(a)      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

Pengertian
Relasi adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara
paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan
himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian
kartesian.

Definisi yang lain:
1. Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x B
didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama
adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adlah anggota himpunan B.
A x B = { (x,y) / xÎA dan yÎB}

2. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.
A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.

3.Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.

contohnya :

1. Misal X = {a,b,c}, B = {1,2}, maka : A x B = {(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}
2. Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y)ÎR jika x
   adalah factor prima dari y, maka:
   R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Representasi Relasi
1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah
 
 2. Representasi Relasi dengan Tabel
•    Kolom pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

3. Representasi Relasi dengan Matriks
•    Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, …, am} dan B = {b1, b2, …, bn}.
•    Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij],

       

yang dalam hal ini:

 Contoh . Relasi R pada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = IF221,
b2 = IF251, b3 = IF342, dan b4 = IF323.

Relasi R pada Contoh 4 dapat dinyatakan dengan matriks






yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, dan b1 = 2, b2 = 4, b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

4.  Representasi Relasi dengan Graf Berarah
•    Relasi pada sebuah himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph)
•    Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.
•    Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc)
•    Jika (a, b)  R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). 
•    Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang atau kalang (loop).




Sifat-sifat Relasi Biner
•    Relasi biner yang didefinisikan pada sebuah himpunan mempunyai beberapa sifat.
1.  Refleksif (reflexive)
•    Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a, a)  R untuk setiap a  A.

•    Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a  A sedemikian  sehingga (a, a)  R

 

Contoh. 

Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
 R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 5,    T : 3x + y = 10
Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggota R, S, maupun T.
•    Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

•    Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2.    Menghantar (transitive)
 •    Relasi R pada himpunan A disebut menghantar jika (a, b)  R dan (b, c)  R, maka (a, c)     R, untuk a, b, c  A.
(a).      R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3) } bersifat menghantar. Lihat tabel berikut:

 

(b).   R = {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak manghantar karena
(c).   (2, 4) dan (4, 2)  R, tetapi (2, 2)  R, begitu juga (4, 2) dan (2, 3)  R, tetapi (4, 3)  R.   
(d).   Relasi R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) } jelas menghantar
(e).  Relasi R = {(1, 2), (3, 4)} menghantar karena tidak ada (a, b) R dan (b, c)  R sedemikian sehingga (a, c) R.
(f).   Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = {(4, 5)} selalu menghantar.                                            
Contoh 12. Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positif m dan n sedemikian sehingga b = ma dan c = nb. Di sini  c = nma, sehingga a habis membagi c.  Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.                                                

Contoh 13. Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N.
    R : x lebih besar dari y,     S : x + y = 6,    T : 3x + y = 10
-  R adalah relasi menghantar karena jika x > y dan y > z maka x > z.
- S tidak menghantar karena, misalkan (4, 2) dan (2, 4) adalah anggota S tetapi (4, 4)  S.
- T = {(1, 7), (2, 4), (3, 1)} menghantar.                  

•    Relasi yang bersifat menghantar tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya
•    Sifat menghantar pada graf berarah ditunjukkan oleh: jika ada busur  dari a ke b dan dari b ke c, maka juga terdapat busur berarah dari a ke c.  

Relasi Inversi

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

   R–1 = {(b, a) | (a, b) e R }

Contoh 17. Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan (p, q) e R  jika p habis membagi q maka kita peroleh

    R  = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

R–1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P  dengan

(q, p) e R–1  jika q adalah kelipatan dari p

maka kita peroleh

    R–1  = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }                           

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R

 

maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

Demikian artikel singkat tentang Matematika Driskrit Bab Relasi, semoga bermanfaat.