Pengertian Induksi matematika
Induksi
Matematika adalah cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah
pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian
dengan
cara ini terdiri dari dua langkah, yaitu:
1. Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk bilangan n, maka pernyataan itu juga berlaku untuk bilangan n + 1.
Prinsip Induksi matematika
Prinsip
Induksi matematika sering digunakan sebagai cara untuk membuktikan
berlakunya suatu hubungan atau dalil. Prinsip Induksi matematik
menyatakan bahwa :
S adalah himpunan bilangan asli yang memenuhi suatu hubungan.
Jika : (a) 1 Є S
(b) k Є S berakibat ( k+1 ) Є S
Maka S memuat semua bilangan asli yaitu S = N
Contoh penggunaan Induksi matematika
Contoh 1
Buktikan 1 + 2 + 3 +… + n = untuk setiap n Є N,
Bukti : 1. Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah = 1
Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk n = 1.
2. Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka
pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.
Hal ini bisa dilakukan dengan cara:
a. Mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k,
yaitu
1 + 2 + ::: + k =
b. Menambahkan k + 1 pada kedua ruas, yaitu
1 + 2 + ::: + k + (k + 1) = + (k + 1)
c. Dengan menggunakan manipulasi aljabar, diperoleh
+ (k + 1) = +
=
=
Dengan demikian
1 + 2 + ::: + k + (k + 1) =
Jadi pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.
Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut
berlaku untuk setiap bilangan asli n. Secara formal Induksi Matematika ini bisa didefinisikan sebagai berikut.
S(n) = adalah suatu pernyataan yang memenuhi suatu hubungan di dalam N
N = himpunan bilangain asli
1. S(1) benar.
2. Jika S(n) benar, maka S(n + 1) benar.
Sehingga S(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
Langkah 1 disebut dengan Langkah Dasar, sedangkan Langkah 2 disebut
dengan Langkah Induktif.
Contoh 2
Tentukan pola yang menyatakan jumlah yang dicari dari deret :
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3n-1)
2 = 2 = = =
2 + 5 = 7 = = =
2 + 5 + 8 = 15 = = =
2 + 5 + 8 + 11 = 26 = = =
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 = = =
Pola yang Nampak dan dapat di duga dari lima kasus atau keadaan diatas adalah :
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3n-1) = untuk n Є N
Sekarang dapat diusahakan untuk membuktikan kebenaran dari pola yang diduga dengan menggunakan prinsip induksi matematika .
Buikti : Misal S adalah himpunan bilangan asli n yang memenuhi hubungan.
1 Є S , menyatakan pernyataan itu benar dengan n = 1,
maka = 2
anggaplah k Є S yaitu :
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3k-1) =
Tunjukan (k+1) Є S, maka tunjukan bahwa ;
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3k-1) + (3(k+1) -1 ) =
=
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3k-1) + (3(k+1) -1 )
= + ( 3 ( k + 1 ) -1 )
= + (3k+2)
= +
=
=
Jadi sesuai dengan prinsip induksi matematika ,
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …+ (3n-1) = untuk n Є N
Untuk
mencari jumlahn suku n yang pertama suatu deret , biasanya digunakan
suatu rumus yang telah dijabarkan terlebih dahulu , misalnya untuk deret
hitung ( tambah , aritmatika ) dan deret ukur ( kali , geometri ) :
Deret hitung : Sn = a + (a + b) + (a+2b) + …+ (a+(n-1)b)
Untuk a adalah suku utama dan b adalah beda
= n( a + Un )
Un = a + (n-1)b
Un adalah suku ke n
maka, Sn = n (a + a + (n-1)b)
= n(2a + (n-1)b)
Sn adalah jumlah n suku pertama
Contoh : Carilah suku ke 50 dan hitunglah jumlah suku ke 50 dari deret
2 + 4 + 6 + 8 + …
b = 2, a = 2
maka U50 = 2 + (50-1)2
= 2 + 98
= 100
S50 = .50(2.2 + (50-1)2)
= 25(4 + 98)
= 2550
deret ukur : S(n) = a =+ ap + ap2 + … + apn-1
a adalah suku pertama dan p adalah rasio atau pembanding
p =
Sn= a,untuk p < 1
dan
Sn = a, untuk p>1
Sn adalah jumlah n suku pertama
Un = apn-1
Un adalah suku ke n
Contoh : 1.tentukan suku ke 10 dan jumlah 10 suku suku pertama dari
1 + 3 + 9 + 27 + …
Diketahui, a = 2 p = 3
Maka, U10 = 2.39
= 19683
S10 = 2
=
= 29524
Contoh 2 :
Tentukan suku ke 6 dan jumlah 6 suku pertama dari
+ + + …
Diketahui, a= p =
Maka, U6 = .
=
=
